Finite Mathematik Beispiele

7 x^{\frac{2}{3}} - 252 = 0

$7 x^{\frac{2}{3}} - 252 = 0$

Schritt 1

Addiere

252

$252$ zu beiden Seiten der Gleichung.

7 x^{\frac{2}{3}} = 252

$7 x^{\frac{2}{3}} = 252$

Schritt 2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

{(7 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

${(7 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache

{(7 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}

${(7 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf

7 x^{\frac{2}{3}}

$7 x^{\frac{2}{3}}$ an.

7^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in

{(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

7^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

7^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

7^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

7^{\frac{3}{2}} x = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}} x = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.4

Stelle die Faktoren in

7^{\frac{3}{2}} x

$7^{\frac{3}{2}} x$ um.

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}$ durch

7^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}$ durch

7^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}}$ .

\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$x = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

x = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$x = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Quotientenregel an

\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}

$\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

x = {(\frac{252}{7})}^{\frac{3}{2}}

$x = {(\frac{252}{7})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.2.1

Dividiere

252

$252$ durch

7

$7$ .

x = 36^{\frac{3}{2}}

$x = 36^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2.2

Schreibe

36

$36$ als

6^{2}

$6^{2}$ um.

x = {(6^{2})}^{\frac{3}{2}}

$x = {(6^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

x = 6^{2 (\frac{3}{2})}

$x = 6^{2 (\frac{3}{2})}$

x = 6^{2 (\frac{3}{2})}

$x = 6^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

x = 6^{2 (\frac{3}{2})}

$x = 6^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

x = 6^{3}

$x = 6^{3}$

x = 6^{3}

$x = 6^{3}$

Schritt 4.2.3.4

Potenziere

6

$6$ mit

3

$3$ .

x = 216

$x = 216$

x = 216

$x = 216$

x = 216

$x = 216$

Schritt 4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}$ durch

7^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in

x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}$ durch

7^{\frac{3}{2}}

$7^{\frac{3}{2}}$ .

\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.4.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$x = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

x = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$x = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

x = - \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}

$x = - \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.4.3.2

Wende die Quotientenregel an

\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}

$\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

x = - {(\frac{252}{7})}^{\frac{3}{2}}

$x = - {(\frac{252}{7})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.3.1

Dividiere

252

$252$ durch

7

$7$ .

x = - 36^{\frac{3}{2}}

$x = - 36^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4.3.3.2

Schreibe

36

$36$ als

6^{2}

$6^{2}$ um.

x = - {(6^{2})}^{\frac{3}{2}}

$x = - {(6^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4.3.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

x = - 6^{2 (\frac{3}{2})}

$x = - 6^{2 (\frac{3}{2})}$

x = - 6^{2 (\frac{3}{2})}

$x = - 6^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 4.4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

x = - 6^{2 (\frac{3}{2})}

$x = - 6^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

x = - 6^{3}

$x = - 6^{3}$

x = - 6^{3}

$x = - 6^{3}$

Schritt 4.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.5.1

Potenziere

6

$6$ mit

3

$3$ .

x = - 1 \cdot 216

$x = - 1 \cdot 216$

Schritt 4.4.3.5.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

216

$216$ .

x = - 216

$x = - 216$

x = - 216

$x = - 216$

x = - 216

$x = - 216$

x = - 216

$x = - 216$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

x = 216, - 216

$x = 216, - 216$

x = 216, - 216

$x = 216, - 216$

Schritt 5