Finite Mathematik Beispiele

$7 x^{\frac{2}{3}} - 252 = 0$

Schritt 1

Addiere $252$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{\frac{2}{3}} = 252$

Schritt 2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(7 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache ${(7 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $7 x^{\frac{2}{3}}$ an.

$7^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$7^{\frac{3}{2}} x^{1} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

$7^{\frac{3}{2}} x = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.1.4

Stelle die Faktoren in $7^{\frac{3}{2}} x$ um.

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = \pm 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}$ durch $7^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 252^{\frac{3}{2}}$ durch $7^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{252}{7})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.2.1

Dividiere $252$ durch $7$ .

$x = 36^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = {(6^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 6^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 6^{3}$

Schritt 4.2.3.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$x = 216$

Schritt 4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}$ durch $7^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 7^{\frac{3}{2}} = - 252^{\frac{3}{2}}$ durch $7^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}} = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{252^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.4.3.2

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = - {(\frac{252}{7})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.3.1

Dividiere $252$ durch $7$ .

$x = - 36^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4.3.3.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = - {(6^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4.3.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 6^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 6^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 6^{3}$

Schritt 4.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.5.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$x = - 1 \cdot 216$

Schritt 4.4.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $216$ .

$x = - 216$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 216, - 216$

Schritt 5