Finite Mathematik Beispiele

$54 + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $54 + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$3 (18) + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $27 x$ heraus.

$3 (18) + 3 (9 x) - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 15 x^{2}$ heraus.

$3 (18) + 3 (9 x) + 3 (- 5 x^{2}) - 6 x^{3} = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{3}$ heraus.

$3 (18) + 3 (9 x) + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (18) + 3 (9 x)$ heraus.

$3 (18 + 9 x) + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (18 + 9 x) + 3 (- 5 x^{2})$ heraus.

$3 (18 + 9 x - 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

Schritt 1.1.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (18 + 9 x - 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3})$ heraus.

$3 (18 + 9 x - 5 x^{2} - 2 x^{3}) = 0$

Schritt 1.2

Stelle die Terme um.

$3 (- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.3.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.3.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

Schritt 1.3.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$- 2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Schritt 1.3.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Schritt 1.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$- 16 - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Schritt 1.3.1.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 16 - 5 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 18$

Schritt 1.3.1.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- 16 - 20 + 9 \cdot 2 + 18$

Schritt 1.3.1.3.6

Subtrahiere $20$ von $- 16$ .

$- 36 + 9 \cdot 2 + 18$

Schritt 1.3.1.3.7

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$- 36 + 18 + 18$

Schritt 1.3.1.3.8

Addiere $- 36$ und $18$ .

$- 18 + 18$

Schritt 1.3.1.3.9

Addiere $- 18$ und $18$ .

$0$

Schritt 1.3.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18}{x - 2}$

Schritt 1.3.1.5

Dividiere $- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ durch $x - 2$ .

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Schritt 1.3.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$18$

Schritt 1.3.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$

Schritt 1.3.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 1.3.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 1.3.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Schritt 1.3.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 1.3.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 1.3.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$18 x$

Schritt 1.3.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 x^{2} + 18 x$

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 1.3.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$

Schritt 1.3.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$

Schritt 1.3.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$

Schritt 1.3.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Schritt 1.3.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 x + 18$

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Schritt 1.3.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	-	$18$
										$0$

Schritt 1.3.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 2 x^{2} - 9 x - 9$

Schritt 1.3.1.6

Schreibe $- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ als eine Menge von Faktoren.

$3 ((x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9)) = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot - 9 = 18$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 1.4.1.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Schritt 1.4.1.1.2

Schreibe $- 9$ um als $- 3$ plus $- 6$

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} + (- 3 - 6) x - 9) = 0$

Schritt 1.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x - 6 x - 9) = 0$

Schritt 1.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 (x - 2) ((- 2 x^{2} - 3 x) - 6 x - 9) = 0$

Schritt 1.4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (x - 2) (x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3)) = 0$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 x - 3$ .

$3 (x - 2) ((- 2 x - 3) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 2) (- 2 x - 3) (x + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$- 2 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4

Setze $- 2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $- 2 x - 3$ gleich $0$ .

$- 2 x - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $- 2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = 3$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 3$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = 3$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{3}{- 2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{3}{- 2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{- 2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 2) (- 2 x - 3) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - \frac{3}{2}, - 3$

Schritt 7