Finite Mathematik Beispiele

$3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Schritt 1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$3 {(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$3 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 + 10 \cdot 1 - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$- 3 + 10 - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.6

Addiere $- 3$ und $10$ .

$7 - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.7

Subtrahiere $1$ von $7$ .

$6 - 6$

Schritt 1.1.3.8

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6}{x + 1}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{2} + 7 x$

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x - 6$

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 x^{2} + 7 x - 6$

Schritt 1.1.6

Schreibe $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (3 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$(x + 1) (3 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Schreibe $7$ um als $- 2$ plus $9$

$(x + 1) (3 x^{2} + (- 2 + 9) x - 6) = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (3 x^{2} - 2 x + 9 x - 6) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) ((3 x^{2} - 2 x) + 9 x - 6) = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$(x + 1) ((3 x - 2) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (3 x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (3 x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{2}{3}, - 3$

Schritt 7