Finite Mathematik Beispiele

$x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 9 u - 10 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} + 9 u - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $9$ ist.

$- 1, 10$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 10) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 10 = 0$

Schritt 4

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 5

Setze $u + 10$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u + 10$ gleich $0$ .

$u + 10 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 10$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 1) (u + 10) = 0$ wahr machen.

$u = 1, - 10$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 1$

${(x^{2})}^{1} = - 10$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 1$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 9.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 10$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 10$

Schritt 11.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 10}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 10}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (10)}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (10)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$

Schritt 11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{10}$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{10}$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{10}$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$

Schritt 12

Die Lösung von $x^{4} + 9 x^{2} - 10 = 0$ ist $x = 1, - 1, i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$ .

$x = 1, - 1, i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$

Schritt 13