Finite Mathematik Beispiele

$x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Schritt 1.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} + 6 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 60$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 + 6 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 60$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 + 6 \cdot 9 - 7 \cdot 3 - 60$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$27 + 54 - 7 \cdot 3 - 60$

Schritt 1.1.3.5

Addiere $27$ und $54$ .

$81 - 7 \cdot 3 - 60$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$81 - 21 - 60$

Schritt 1.1.3.7

Subtrahiere $21$ von $81$ .

$60 - 60$

Schritt 1.1.3.8

Subtrahiere $60$ von $60$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60}{x - 3}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ durch $x - 3$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$60$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x^{2} - 27 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	-	$60$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x - 60$

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$
										$0$

Schritt 1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 9 x + 20$

Schritt 1.1.6

Schreibe $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} + 9 x + 20) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $9$ ist.

$4, 5$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) ((x + 4) (x + 5)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 4, - 5$

Schritt 7