Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} - \frac{2}{5} x = \frac{4}{25}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{5}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{5} = \frac{4}{25}$

Schritt 1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} = \frac{4}{25}$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + {(- \frac{1}{5})}^{2} = \frac{4}{25} + {(- \frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2} = \frac{4}{25} + {(- \frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}} = \frac{4}{25} + {(- \frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + 1 \frac{1^{2}}{5^{2}} = \frac{4}{25} + {(- \frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1^{2}}{5^{2}} = \frac{4}{25} + {(- \frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{5^{2}} = \frac{4}{25} + {(- \frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{4}{25} + {(- \frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{4}{25} + {(- \frac{1}{5})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{4}{25} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{4}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{4}{25} + 1 \frac{1^{2}}{5^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{4}{25} + \frac{1^{2}}{5^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{4}{25} + \frac{1}{5^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{4}{25} + \frac{1}{25}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{4 + 1}{25}$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $4$ und $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{5}{25}$

Schritt 4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 4.2.1.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{5 (1)}{25}$

Schritt 4.2.1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Schritt 4.2.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Schritt 4.2.1.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - \frac{2 x}{5} + \frac{1}{25} = \frac{1}{5}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{1}{5})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} = \frac{1}{5}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{5} = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{5}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ um.

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 6.2.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 6.2.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 6.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 6.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 6.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x - \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.3

Addiere $\frac{1}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{5}$

Dezimalform:

$x = 0.64721359 \dots, - 0.24721359 \dots$