Finite Mathematik Beispiele

$x + 2 x^{2} = - 1$

Schritt 1

Stelle $x$ und $2 x^{2}$ um.

$2 x^{2} + x = - 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + \frac{x}{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{x}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} = - \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1^{2}}{4^{2}} = - \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4^{2}} = - \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{8}{2 \cdot 8} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{8}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 8 + 1}{16}$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $- 8$ und $1$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 7}{16}$

Schritt 5.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{16}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = - \frac{7}{16}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{- \frac{7}{16}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{7}{16}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $- \frac{7}{16}$ als ${(\frac{i}{4})}^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{16}}$

Schritt 7.2.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $7$ heraus.

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{16}}$

Schritt 7.2.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{4^{2} \cdot 1}}$

Schritt 7.2.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 7}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{4})}^{2} \cdot 7)}$

Schritt 7.2.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}$ als ${(\frac{i}{4})}^{2}$ um.

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{4})}^{2} \cdot 7}$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{i}{4} \sqrt{7}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $\frac{i}{4}$ und $\sqrt{7}$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 7.3.2

Stelle $\pm \frac{i \sqrt{7}}{4}$ und $- \frac{1}{4}$ um.

$x = - \frac{1}{4} \pm \frac{i \sqrt{7}}{4}$