Finite Mathematik Beispiele

$p^{2} = 3 p - 1$

Schritt 1

Subtrahiere $3 p$ von beiden Seiten der Gleichung.

$p^{2} - 3 p = - 1$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$p^{2} - 3 p + {(- \frac{3}{2})}^{2} = - 1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$p^{2} - 3 p + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = - 1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$p^{2} - 3 p + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = - 1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$p^{2} - 3 p + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = - 1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{3^{2}}{2^{2}} = - 1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{2^{2}} = - 1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = - 1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = - 1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = - 1 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = - 1 + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = - 1 + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = - 1 + \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = - 1 + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = \frac{- 1 \cdot 4 + 9}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = \frac{- 4 + 9}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$p^{2} - 3 p + \frac{9}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(p - \frac{3}{2})}^{2}$ .

${(p - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{5}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $p$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{4}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$ um.

$p - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$p - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$p - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.3

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$p = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$p = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$p = 2.61803398 \dots, 0.38196601 \dots$