Finite Mathematik Beispiele

$(4 x + 1) (x + 2) = - 2$

Schritt 1

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 1.1

Vereinfache $(4 x + 1) (x + 2)$ .

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Schritt 1.1.1

Multipliziere $(4 x + 1) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (x + 2) + 1 (x + 2) = - 2$

Schritt 1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 1 (x + 2) = - 2$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 = - 2$

Schritt 1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 = - 2$

Schritt 1.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 = - 2$

Schritt 1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{2} + 8 x + 1 x + 1 \cdot 2 = - 2$

Schritt 1.1.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 8 x + x + 1 \cdot 2 = - 2$

Schritt 1.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 8 x + x + 2 = - 2$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $8 x$ und $x$ .

$4 x^{2} + 9 x + 2 = - 2$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 9 x = - 2 - 2$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$4 x^{2} + 9 x = - 4$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} + 9 x = - 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} + 9 x = - 4$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} = - 1$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{9}{8})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + {(\frac{9}{8})}^{2} = - 1 + {(\frac{9}{8})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{8}$ an.

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{9^{2}}{8^{2}} = - 1 + {(\frac{9}{8})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{8^{2}} = - 1 + {(\frac{9}{8})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = - 1 + {(\frac{9}{8})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 1 + {(\frac{9}{8})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{8}$ an.

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = - 1 + \frac{9^{2}}{8^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = - 1 + \frac{81}{8^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = - 1 + \frac{81}{64}$

Schritt 5.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = - 1 \cdot \frac{64}{64} + \frac{81}{64}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{64}{64}$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = \frac{- 1 \cdot 64}{64} + \frac{81}{64}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = \frac{- 1 \cdot 64 + 81}{64}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = \frac{- 64 + 81}{64}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $- 64$ und $81$ .

$x^{2} + \frac{9 x}{4} + \frac{81}{64} = \frac{17}{64}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{9}{8})}^{2}$ .

${(x + \frac{9}{8})}^{2} = \frac{17}{64}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{9}{8} = \pm \sqrt{\frac{17}{64}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{17}{64}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{17}{64}}$ als $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{64}}$ um.

$x + \frac{9}{8} = \pm \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{64}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x + \frac{9}{8} = \pm \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{8^{2}}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{9}{8} = \pm \frac{\sqrt{17}}{8}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $\frac{9}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{17}}{8} - \frac{9}{8}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{17}}{8} - \frac{9}{8}$

Dezimalform:

$x = - 0.60961179 \dots, - 1.64038820 \dots$