Finite Mathematik Beispiele

$- x^{2} + 3 x + 10 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 3 x = - 10$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} + 3 x = - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} + 3 x = - 10$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{3 x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} + \frac{3 x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.2.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3 x}{- 1}$ .

$x^{2} - 1 \cdot (3 x) = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (3 x)$ als $- (3 x)$ um.

$x^{2} - (3 x) = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 3 x = \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x^{2} - 3 x = 10$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} = 10 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = 10 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = 10 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = 10 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = 10 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{2^{2}} = 10 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 10 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $10 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 10 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 10 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 10 + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 10 + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 10 + \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 10 + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 10 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $10$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{10 \cdot 4 + 9}{4}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{40 + 9}{4}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $40$ und $9$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{49}{4}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{49}{4}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{49}{4}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{49}{4}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{49}{4}}$ als $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}$ um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{7}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{7}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{7}{2}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{7}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 + 3}{2}$

Schritt 7.3.2.3

Addiere $7$ und $3$ .

$x = \frac{10}{2}$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $10$ durch $2$ .

$x = 5$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{3}{2} = - \frac{7}{2}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{7}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 7 + 3}{2}$

Schritt 7.3.4.3

Addiere $- 7$ und $3$ .

$x = \frac{- 4}{2}$

Schritt 7.3.4.4

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$x = - 2$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 2$