Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $3 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $u^{2} - 5 u + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 2.1.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.11

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.12.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.13.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.13.3

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.14

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.15

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.1.15.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.15.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.15.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.16.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.1.17

Stelle die Terme um.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Schritt 2.1.18

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.18.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.18.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 2.1.18.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.18.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.19

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.19.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Schritt 2.1.19.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Schritt 2.1.19.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

Schritt 2.1.19.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, 4$

Schritt 3