Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 10 x + 25}}{\frac{3 x - 12}{x^{2} - 3 x - 10}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 x - 12}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 12$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 (x) - 12}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 x + 3 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 (x - 4)}$

Schritt 5.2

Kombinieren.

$\frac{(x + 4) (x - 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} (3 (x - 4))}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (x - 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} (3 (x - 4))}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} \cdot (3)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 5$ und ${(x - 5)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x + 4) ((x - 5) (x + 2))$ heraus.

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} \cdot (3)}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x - 5)}^{2} \cdot (3)$ heraus.

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{(x - 5) ((x - 5) \cdot 3)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{(x - 5) ((x - 5) \cdot 3)}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 4) (x + 2)}{(x - 5) \cdot 3}$

Schritt 5.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 5$ .

$\frac{(x + 4) (x + 2)}{3 (x - 5)}$