Finite Mathematik Beispiele

$\frac{{(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}^{2} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}^{2}$ als $(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2})$ um.

$\frac{(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.1.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1} - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 - \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $- \sqrt{3} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2 \cdot 3} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3 \cdot 2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.5

Multipliziere $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.3.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{2}}^{2} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2^{1} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2 - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 8 - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.2

Addiere $3$ und $8$ .

$\frac{11 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $2 \sqrt{6}$ von $- 2 \sqrt{6}$ .

$\frac{11 - 4 \sqrt{6} - (- 1 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{11 - 4 \sqrt{6} - - 1 - - \sqrt{3} + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{11 - 4 \sqrt{6} + 1 - - \sqrt{3} + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.6

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{11 - 4 \sqrt{6} + 1 + 1 \sqrt{3} + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{11 - 4 \sqrt{6} + 1 + \sqrt{3} + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.7

Addiere $11$ und $1$ .

$\frac{12 - 4 \sqrt{6} + \sqrt{3} + 4 \sqrt{6}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.8

Addiere $- 4 \sqrt{6}$ und $4 \sqrt{6}$ .

$\frac{12 + 0 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 1.9

Addiere $12$ und $0$ .

$\frac{12 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{12 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{12 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{12 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(12 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(12 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$\frac{(12 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 4

Multipliziere $(12 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 \cdot 1 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 \cdot 1 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{12 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{12 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{12 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{12 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{12 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Schritt 5.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{12 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Schritt 5.2

Addiere $12$ und $3$ .

$\frac{15 + 12 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.3

Addiere $12 \sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{15 + 13 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15 + 13 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{15 + 13 \sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$- 18.75833024 \dots$