Finite Mathematik Beispiele

$\frac{e^{14} - e^{- 14}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $e^{14}$ als ${(e^{7})}^{2}$ um.

$\frac{{(e^{7})}^{2} - e^{- 14}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.2

Schreibe $e^{- 14}$ als ${(e^{- 7})}^{2}$ um.

$\frac{{(e^{7})}^{2} - {(e^{- 7})}^{2}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{7}$ und $b = e^{- 7}$ .

$\frac{(e^{7} + e^{- 7}) (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(e^{7} + \frac{1}{e^{7}}) (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.2

Um $e^{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{7}}{e^{7}}$ .

$\frac{(\frac{e^{7} e^{7}}{e^{7}} + \frac{1}{e^{7}}) (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e^{7} e^{7} + 1}{e^{7}} (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.4

Multipliziere $e^{7}$ mit $e^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{e^{7 + 7} + 1}{e^{7}} (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.4.2

Addiere $7$ und $7$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} (e^{7} - \frac{1}{e^{7}})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.6

Um $e^{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{7}}{e^{7}}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} (\frac{e^{7} e^{7}}{e^{7}} - \frac{1}{e^{7}})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{e^{7} e^{7} - 1}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.8

Schreibe $\frac{e^{7} e^{7} - 1}{e^{7}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.8.1

Multipliziere $e^{7}$ mit $e^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.8.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{e^{7 + 7} - 1}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.8.1.2

Addiere $7$ und $7$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{e^{14} - 1}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.8.2

Schreibe $e^{14} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.8.2.1

Schreibe $e^{14}$ als ${(e^{7})}^{2}$ um.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{{(e^{7})}^{2} - 1}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.8.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{{(e^{7})}^{2} - 1^{2}}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 1.4.8.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{7}$ und $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{e^{7} - \frac{1}{e^{7}}}$

Schritt 2.2

Um $e^{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{7}}{e^{7}}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{e^{7} e^{7}}{e^{7}} - \frac{1}{e^{7}}}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{e^{7} e^{7} - 1}{e^{7}}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{e^{7} e^{7} - 1}{e^{7}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere $e^{7}$ mit $e^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{e^{7 + 7} - 1}{e^{7}}}$

Schritt 2.4.1.2

Addiere $7$ und $7$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{e^{14} - 1}{e^{7}}}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $e^{14} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe $e^{14}$ als ${(e^{7})}^{2}$ um.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{{(e^{7})}^{2} - 1}{e^{7}}}$

Schritt 2.4.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{{(e^{7})}^{2} - 1^{2}}{e^{7}}}$

Schritt 2.4.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{7}$ und $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{e^{14} + 1}{e^{7}}$ mit $\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}$ .

$\frac{\frac{(e^{14} + 1) ((e^{7} + 1) (e^{7} - 1))}{e^{7} e^{7}}}{\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}$

Schritt 4

Multipliziere $e^{7}$ mit $e^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7 + 7}}}{\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}$

Schritt 4.2

Addiere $7$ und $7$ .

$\frac{\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{14}}}{\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{14}} \cdot \frac{e^{7}}{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1) e^{7}}{e^{14} ((e^{7} + 1) (e^{7} - 1))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{7} + 1$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1) e^{7}}{e^{14} ((e^{7} + 1) (e^{7} - 1))}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((e^{14} + 1) (e^{7} - 1)) e^{7}}{e^{14} (e^{7} - 1)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{7} - 1$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} - 1) e^{7}}{e^{14} (e^{7} - 1)}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(e^{14} + 1) e^{7}}{e^{14}}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{7}$ und $e^{14}$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $e^{7}$ aus $(e^{14} + 1) e^{7}$ heraus.

$\frac{e^{7} (e^{14} + 1)}{e^{14}}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $e^{7}$ aus $e^{14}$ heraus.

$\frac{e^{7} (e^{14} + 1)}{e^{7} e^{7}}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{7} (e^{14} + 1)}{e^{7} e^{7}}$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{14} + 1}{e^{7}}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{e^{14} + 1}{e^{7}}$

Dezimalform:

$1096.63407031 \dots$