Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{4 a + 12}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 a + 12$ und $2 a - 10$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 a$ heraus.

$\frac{\frac{2 (2 a) + 12}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{\frac{2 (2 a) + 2 \cdot 6}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 a) + 2 (6)$ heraus.

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a) - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 a + 2 \cdot - 5}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 a + 2 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a - 5)}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a - 5)}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 a + 6}{a - 5}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 a + 6}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $2 a + 6$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{2 (a) + 6}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 a + 2 \cdot 3}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 a + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Schritt 4

Faktorisiere $a^{2} - a - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{2 - 9}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $9$ von $2$ .

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{- 7}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 5$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{- 7}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (a + 3) \frac{a + 4}{- 7}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{a + 4}{- 7}$ und $2$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 2}{- 7} (a + 3)$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a + 4$ .

$\frac{2 \cdot (a + 4)}{- 7} (a + 3)$

Schritt 5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cdot (a + 4)}{7} (a + 3)$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (a + 4)}{7} a - \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$

Schritt 5.6

Kombiniere $a$ und $\frac{2 (a + 4)}{7}$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} - \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} - 3 \frac{2 (a + 4)}{7}$

Schritt 6.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 (a + 4)}{7}$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} + \frac{- 3 (2 (a + 4))}{7}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} + \frac{- 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- a (2 (a + 4)) - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- a (2 a + 2 \cdot 4) - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- a (2 a + 8) - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- a (2 a) - a \cdot 8 - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 1 \cdot 2 a \cdot a - a \cdot 8 - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 a \cdot a - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.6.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.6.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 (a \cdot a) - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2.6.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 a^{2} - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Schritt 7.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 a - 6 \cdot 4}{7}$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 a - 24}{7}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $6 a$ von $- 8 a$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 14 a - 24}{7}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 a^{2} - 14 a - 24$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 a^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- a^{2}) - 14 a - 24}{7}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14 a$ heraus.

$\frac{2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a) - 24}{7}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a) + 2 (- 12)}{7}$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a)$ heraus.

$\frac{2 (- a^{2} - 7 a) + 2 (- 12)}{7}$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- a^{2} - 7 a) + 2 (- 12)$ heraus.

$\frac{2 (- a^{2} - 7 a - 12)}{7}$

Schritt 8.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 8.2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 a$ heraus.

$\frac{2 (- a^{2} - 7 (a) - 12)}{7}$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 3$ plus $- 4$

$\frac{2 (- a^{2} + (- 3 - 4) a - 12)}{7}$

Schritt 8.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- a^{2} - 3 a - 4 a - 12)}{7}$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- a^{2} - 3 a) - 4 a - 12)}{7}$

Schritt 8.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (a (- a - 3) + 4 (- a - 3))}{7}$

Schritt 8.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- a - 3$ .

$\frac{2 ((- a - 3) (a + 4))}{7}$

$\frac{2 (- a - 3) (a + 4)}{7}$

Schritt 9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{2 (- (a) - 3) (a + 4)}{7}$

Schritt 9.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{2 (- (a) - 1 (3)) (a + 4)}{7}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{2 (- (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Schreibe $- (a + 3)$ als $- 1 (a + 3)$ um.

$\frac{2 (- 1 (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Schritt 9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Schritt 9.4.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 (a + 3)) (a + 4)}{7}$ um.

$- \frac{2 (a + 3) (a + 4)}{7}$