Finite Mathematik Beispiele

$\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{9 {\sqrt{2}}^{2} + 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 3

Multipliziere $(5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $5 \sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 \sqrt{3} \sqrt{2} + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{15 \sqrt{2 \cdot 3} + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \sqrt{3} \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 {\sqrt{3}}^{2} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3^{1} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3 - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \sqrt{2} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 {\sqrt{2}}^{2} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2^{1} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2 - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 18 - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Schritt 4.1.8

Multipliziere $- 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 18 - 6 \sqrt{2} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 4.1.8.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 18 - 6 \sqrt{3 \cdot 2}}{6}$

Schritt 4.1.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 18 - 6 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $6 \sqrt{6}$ von $15 \sqrt{6}$ .

$\frac{30 - 18 + 9 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $18$ von $30$ .

$\frac{12 + 9 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 + 9 \sqrt{6}$ und $6$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 (4) + 9 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3$ aus $9 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{3 (4) + 3 (3 \sqrt{6})}{6}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4) + 3 (3 \sqrt{6})$ heraus.

$\frac{3 (4 + 3 \sqrt{6})}{6}$

Schritt 5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (4 + 3 \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 + 3 \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 + 3 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 + 3 \sqrt{6}}{2}$

Dezimalform:

$5.67423461 \dots$