Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 2

Um $\frac{2 a}{a + b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 3

Um $- \frac{b}{b - a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + b) (b - a)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 a}{a + b}$ mit $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{b}{b - a}$ mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(b - a) (a + b)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(b - a) (a + b)$ um.

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 6

Um $\frac{1}{a + b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Schritt 7

Um $\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a + b}{a + b}}$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + b) (a^{2} - b^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a + b}$ mit $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a + b}{a + b}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a (a + b)}{(a^{2} - b^{2}) (a + b)}}$

Schritt 8.3

Stelle die Faktoren von $(a^{2} - b^{2}) (a + b)$ um.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10

Schreibe $\frac{a^{2} - b^{2} + a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a \cdot a + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a^{2} + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.3

Addiere $a^{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - b^{2} + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 10.4.1.1

Stelle $- b^{2}$ und $a b$ um.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4.1.2

Faktorisiere $1$ aus $a b$ heraus.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4.1.3

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + (- 1 + 2) (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 (a b) + 2 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4.1.5

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4.1.6

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a^{2} - 1 a b) + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a (2 a - b) + b (2 a - b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 a - b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Schritt 10.5

Faktorisiere.

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Schritt 10.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Schritt 10.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b) (a - b)}}$

Schritt 10.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.6.1

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1} (a + b) (a - b)}}$

Schritt 10.6.2

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} (a - b)}}$

Schritt 10.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1 + 1} (a - b)}}$

Schritt 10.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}}$

Schritt 10.7

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.7.1

Faktorisiere $a + b$ aus $(2 a - b) (a + b)$ heraus.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}}$

Schritt 10.7.2

Faktorisiere $a + b$ aus ${(a + b)}^{2} (a - b)$ heraus.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Schritt 10.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Schritt 10.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a - b}{(a + b) (a - b)}}$