Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{7 x + 1} = 1 + \sqrt{5 x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{7 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x + 1}$ als ${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(7 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$7 x + 1 = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ um.

$7 x + 1 = (1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{5 x}) + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$7 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{5 x}$ mit $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{5 x}$ mit $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{5 x}$ mit $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} \sqrt{5 x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{5 x}$ mit $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} {\sqrt{5 x}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{5 x}}^{2}$ als $5 x$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + 5 x$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $\sqrt{5 x}$ und $\sqrt{5 x}$ .

$7 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x$

Schritt 3

Löse nach $2 \sqrt{5 x}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$ um.

$1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{5 x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1 - 1$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 1 - 1 - 5 x$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 x + 1 - 1 - 5 x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 0 - 5 x$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $7 x$ und $0$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x - 5 x$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $5 x$ von $7 x$ .

$2 \sqrt{5 x} = 2 x$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

${(2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$20 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.2.1.8

Vereinfache.

$20 x = {(2 x)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(2 x)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$20 x = 2^{2} x^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$20 x = 4 x^{2}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x - 4 x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $4 u$ aus $20 u - 4 u^{2}$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $4 u$ aus $20 u$ heraus.

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Schritt 6.2.2.2

Faktorisiere $4 u$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Schritt 6.2.2.3

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u (5) + 4 u (- u)$ heraus.

$4 u (5 - u) = 0$

Schritt 6.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$4 x (5 - x) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 - x = 0$

Schritt 6.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $5 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $5 - x$ gleich $0$ .

$5 - x = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $5 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 5$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (5 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 5$

Schritt 7