Finite Mathematik Beispiele

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl

$1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

$4$ hat Faktoren von

$2$ und

$2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$4$

Schritt 2.6

Die Teiler von

$1 + 4 x$ sind

$(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ , was

$1 + 4 x$

$2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

$(1 + 4 x)$ tritt

$2$ -mal auf.

Schritt 2.7

Das kgV von

${(1 + 4 x)}^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

${(1 + 4 x)}^{2}$

Schritt 2.8

Das kleinste gemeinsame Vielfache

$LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ mit

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ mit

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere

${(1 + 4 x)}^{2}$ aus

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ heraus.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Schritt 3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere

$4$ aus

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ heraus.

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache

$5 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe

${(1 + 4 x)}^{2}$ als

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ um.

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

Schritt 4.1.2

Multipliziere

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Schritt 4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Schritt 4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Schritt 4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1.1

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Schritt 4.1.3.1.2

Mutltipliziere

$4 x$ mit

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Schritt 4.1.3.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

Schritt 4.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

Schritt 4.1.3.1.5

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.1.5.1

Bewege

$x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

Schritt 4.1.3.1.5.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

Schritt 4.1.3.1.6

Mutltipliziere

$4$ mit

$4$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

Schritt 4.1.3.2

Addiere

$4 x$ und

$4 x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

Schritt 4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere

$8$ mit

$5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

Schritt 4.1.5.3

Mutltipliziere

$16$ mit

$5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

Schritt 4.2

$x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die

$x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere

$4 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere

$80 x^{2}$ und

$4 x^{2}$ .

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte

$a = 84$ ,

$b = 40$ und

$c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach

$x$ auf.

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere

$40$ mit

$2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 84 \cdot 5$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$84$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere

$- 336$ mit

$5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.3

Subtrahiere

$1680$ von

$1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe

$- 80$ als

$- 1 (80)$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.5

Schreibe

$\sqrt{- 1 (80)}$ als

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.7

Schreibe

$80$ als

$4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.6.1.7.1

Faktorisiere

$16$ aus

$80$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.7.2

Schreibe

$16$ als

$4^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.1.9

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$84$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache

$\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Schritt 5