Finite Mathematik Beispiele

${(2 m + 10)}^{2} + {(3 m)}^{2} = {(5 m)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $3 m$ an.

${(2 m + 10)}^{2} + 3^{2} m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Schritt 1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(5 m)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $5 m$ an.

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = 5^{2} m^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = 25 m^{2}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $m$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $25 m^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe ${(2 m + 10)}^{2}$ als $(2 m + 10) (2 m + 10)$ um.

$(2 m + 10) (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(2 m + 10) (2 m + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m + 10) + 10 (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Bewege $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 m^{2} + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$4 m^{2} + 20 m + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$4 m^{2} + 20 m + 20 m + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$4 m^{2} + 20 m + 20 m + 100 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $20 m$ und $20 m$ .

$4 m^{2} + 40 m + 100 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.3

Addiere $4 m^{2}$ und $9 m^{2}$ .

$13 m^{2} + 40 m + 100 - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $25 m^{2}$ von $13 m^{2}$ .

$- 12 m^{2} + 40 m + 100 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12 m^{2} + 40 m + 100$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12 m^{2}$ heraus.

$- 4 (3 m^{2}) + 40 m + 100 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $40 m$ heraus.

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m) + 100 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $100$ heraus.

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m) - 4 \cdot - 25 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m)$ heraus.

$- 4 (3 m^{2} - 10 m) - 4 \cdot - 25 = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (3 m^{2} - 10 m) - 4 (- 25)$ heraus.

$- 4 (3 m^{2} - 10 m - 25) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 m$ heraus.

$- 4 (3 m^{2} - 10 m - 25) = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe $- 10$ um als $5$ plus $- 15$

$- 4 (3 m^{2} + (5 - 15) m - 25) = 0$

Schritt 4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (3 m^{2} + 5 m - 15 m - 25) = 0$

Schritt 4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 4 ((3 m^{2} + 5 m) - 15 m - 25) = 0$

Schritt 4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 4 (m (3 m + 5) - 5 (3 m + 5)) = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 m + 5$ .

$- 4 ((3 m + 5) (m - 5)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 (3 m + 5) (m - 5) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 m + 5 = 0$

$m - 5 = 0$

Schritt 6

Setze $3 m + 5$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 m + 5$ gleich $0$ .

$3 m + 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 m + 5 = 0$ nach $m$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 m = - 5$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 m = - 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 m = - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $m$ durch $1$ .

$m = \frac{- 5}{3}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$m = - \frac{5}{3}$

Schritt 7

Setze $m - 5$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $m - 5$ gleich $0$ .

$m - 5 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$m = 5$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 (3 m + 5) (m - 5) = 0$ wahr machen.

$m = - \frac{5}{3}, 5$

Schritt 9