Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 2 x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = - 2 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ als ${(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 1)}^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

${({(x - 1)}^{1})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{1})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{1 \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache ${(- 2 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

${(x - 1)}^{2} = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Schritt 3.4.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

${(x - 1)}^{2} = 4 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 1)}^{2} - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$(x - 1) (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2} - 2 x + 1$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- (3 x^{2}) - 2 x + 1 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$- (3 x^{2}) - (2 x) + 1 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (3 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (2 x)$ heraus.

$- (3 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$- (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$- (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 4.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.4

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 4.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 2 x = 0$ nicht erfüllen.

$x = - 1$

Schritt 6