Finite Mathematik Beispiele

$x = - 2 (x^{2} - 10 x)$

Schritt 1

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 1.1

Vereinfache $- 2 (x^{2} - 10 x)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 2$ .

$x = - 2 x^{2} + 20 x$

Schritt 1.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 2 x^{2} + 20 x = x$

Schritt 1.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 20 x - x = 0$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von $20 x$ .

$- 2 x^{2} + 19 x = 0$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} + 19 x = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} + 19 x = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} = 0$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- \frac{19}{4})}^{2} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{19}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{19}{4})}^{2} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{19}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + 1 \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{19^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Potenziere $19$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{19}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{19}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{19}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- 1)}^{2} \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + 1 \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{19^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Potenziere $19$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{361}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{361}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $0$ und $\frac{361}{16}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = \frac{361}{16}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{19}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{19}{4})}^{2} = \frac{361}{16}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{19}{4} = \pm \sqrt{\frac{361}{16}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{361}{16}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{361}{16}}$ als $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{16}}$ um.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{\sqrt{361}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $361$ als $19^{2}$ um.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{4}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{19}{4} = \frac{19}{4}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $\frac{19}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{19}{4} + \frac{19}{4}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{19 + 19}{4}$

Schritt 7.3.2.3

Addiere $19$ und $19$ .

$x = \frac{38}{4}$

Schritt 7.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $38$ und $4$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $38$ heraus.

$x = \frac{2 (19)}{4}$

Schritt 7.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 19}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 19}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{19}{2}$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{19}{4} = - \frac{19}{4}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Addiere $\frac{19}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{19}{4} + \frac{19}{4}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 19 + 19}{4}$

Schritt 7.3.4.3

Addiere $- 19$ und $19$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.4.4

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{19}{2}, 0$