Finite Mathematik Beispiele

$5 x^{2} - 2 x + 13 = 18 x + 1$

Schritt 1

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} - 2 x = 18 x + 1 - 13$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $13$ von $1$ .

$5 x^{2} - 2 x = 18 x - 12$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $18 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} - 2 x - 18 x = - 12$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $18 x$ von $- 2 x$ .

$5 x^{2} - 20 x = - 12$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} - 20 x = - 12$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} - 20 x = - 12$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $5$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 20 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5} = \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1)} = \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5 \cdot 1} = \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 4 x}{1} = \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $- 4 x$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - 4 x = - \frac{12}{5}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + {(- 2)}^{2} = - \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + 4$

Schritt 5.2.1.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{- 12 + 4 \cdot 5}{5}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{- 12 + 20}{5}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $- 12$ und $20$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{8}{5}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{8}{5}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{8}{5}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{8}{5}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{8}{5}}$ als $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ um.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.2.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 7.2.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 7.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 7.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 7.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 2}}{5}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 7.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5} + 2$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5} + 2$

Dezimalform:

$x = 3.26491106 \dots, 0.73508893 \dots$