Finite Mathematik Beispiele

$5 x^{2} + 8 x - 4 = 0$

Schritt 1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 8 x = 4$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} + 8 x = 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} + 8 x = 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{8 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{8 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2} = \frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{4^{2}}{5^{2}} = \frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5^{2}} = \frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} + \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} + \frac{16}{5^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} + \frac{16}{25}$

Schritt 5.2.1.2

Um $\frac{4}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{16}{25}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{16}{25}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4 \cdot 5}{25} + \frac{16}{25}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4 \cdot 5 + 16}{25}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{20 + 16}{25}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $20$ und $16$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{36}{25}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{4}{5})}^{2}$ .

${(x + \frac{4}{5})}^{2} = \frac{36}{25}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{4}{5} = \pm \sqrt{\frac{36}{25}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{36}{25}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{36}{25}}$ als $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}$ um.

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{25}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{6}{\sqrt{25}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{6}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{6}{5}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $\frac{4}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{6}{5} - \frac{4}{5}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{6 - 4}{5}$

Schritt 7.3.2.3

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + \frac{4}{5} = - \frac{6}{5}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Subtrahiere $\frac{4}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{6}{5} - \frac{4}{5}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 6 - 4}{5}$

Schritt 7.3.4.3

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$x = \frac{- 10}{5}$

Schritt 7.3.4.4

Dividiere $- 10$ durch $5$ .

$x = - 2$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2}{5}, - 2$