Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{2} - 16 x + 11 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 16 x = - 11$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} - 16 x = - 11$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} - 16 x = - 11$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 16 x}{4} = \frac{- 11}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 16 x}{4} = \frac{- 11}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 16 x}{4} = \frac{- 11}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $4$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{4 (- 4 x)}{4} = \frac{- 11}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x^{2} + \frac{4 (- 4 x)}{4 (1)} = \frac{- 11}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{4 (- 4 x)}{4 \cdot 1} = \frac{- 11}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 4 x}{1} = \frac{- 11}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $- 4 x$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{- 11}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - 4 x = - \frac{11}{4}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + {(- 2)}^{2} = - \frac{11}{4} + {(- 2)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{11}{4} + {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{11}{4} + {(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{11}{4} + 4$

Schritt 5.2.1.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{11}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{11}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{- 11 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{- 11 + 16}{4}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $- 11$ und $16$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{5}{4}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{5}{4}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{4}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$ um.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} + 2$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} + 2$

Dezimalform:

$x = 3.11803398 \dots, 0.88196601 \dots$