Finite Mathematik Beispiele

$3 x^{2} - 9 x - 50 = 0$

Schritt 1

Addiere $50$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 9 x = 50$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} - 9 x = 50$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} - 9 x = 50$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3} = \frac{50}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3 (1)} = \frac{50}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3 \cdot 1} = \frac{50}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} = \frac{50}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$x^{2} - 3 x = \frac{50}{3}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Um $\frac{50}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 5.2.1.3

Um $\frac{9}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{50}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.2.1.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

Schritt 5.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.6.1

Mutltipliziere $50$ mit $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{200 + 9 \cdot 3}{12}$

Schritt 5.2.1.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{200 + 27}{12}$

Schritt 5.2.1.6.3

Addiere $200$ und $27$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{227}{12}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{227}{12}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{227}{12}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{227}{12}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{227}{12}}$ als $\frac{\sqrt{227}}{\sqrt{12}}$ um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{12}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{4 (3)}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.4.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 7.2.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 7.2.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 7.2.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.2.4.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.2.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Schritt 7.2.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $227$ mit $3$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{681}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{681}}{6}$

Schritt 7.3

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{681}}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{681}}{6} + \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$x = 5.84932945 \dots, - 2.84932945 \dots$