Finite Mathematik Beispiele

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Schritt 1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 7 x = 15$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + 7 x = 15$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + 7 x = 15$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{4^{2}} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{49}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{49}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Um $\frac{15}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8 + 49}{16}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $15$ mit $8$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{120 + 49}{16}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $120$ und $49$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{169}{16}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{7}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{7}{4})}^{2} = \frac{169}{16}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{7}{4} = \pm \sqrt{\frac{169}{16}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{169}{16}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{169}{16}}$ als $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$ um.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{13^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{4}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + \frac{7}{4} = \frac{13}{4}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $\frac{7}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{13}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{13 - 7}{4}$

Schritt 7.3.2.3

Subtrahiere $7$ von $13$ .

$x = \frac{6}{4}$

Schritt 7.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 (3)}{4}$

Schritt 7.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + \frac{7}{4} = - \frac{13}{4}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Subtrahiere $\frac{7}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{13}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 13 - 7}{4}$

Schritt 7.3.4.3

Subtrahiere $7$ von $- 13$ .

$x = \frac{- 20}{4}$

Schritt 7.3.4.4

Dividiere $- 20$ durch $4$ .

$x = - 5$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3}{2}, - 5$