Finite Mathematik Beispiele

$2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

Schritt 1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 4 x = 3$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + 4 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + 4 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (2 x)}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (2 x)}{2 (1)} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{2 x}{1} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$x^{2} + 2 x = \frac{3}{2}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(1)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + {(1)}^{2} = \frac{3}{2} + {(1)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{3}{2} + {(1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} + {(1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{3}{2} + 1$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{3 + 2}{2}$

Schritt 5.2.1.4

Addiere $3$ und $2$ .

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{5}{2}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{2}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ um.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 7.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 7.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} - 1$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} - 1$

Dezimalform:

$x = 0.58113883 \dots, - 2.58113883 \dots$