Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} + {(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1 - x^{2}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4.2

Addiere $\sqrt[3]{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Schritt 4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4.4

Addiere $\sqrt[3]{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 6.2

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6.3

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 6.3.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 6.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 \leq x \leq 1$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 1, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Schritt 8