Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} - y^{2} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = 1 - x^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = 1 - x^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Schritt 2.3.1.3

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Stelle $- 1^{2}$ und $x^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 7.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 7.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 7.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 7.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Schritt 7.6.1.3

Die linke Seite $15$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Schritt 7.6.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Schritt 7.6.3.3

Die linke Seite $15$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 7.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 1$ oder $x \geq 1$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Schritt 9