Finite Mathematik Beispiele

$- \sqrt{x^{2} + 8 x + 32}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 8 x + 32}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 8 x + 32 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 8 x + 32 = 0$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 8$ und $c = 32$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 32$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Subtrahiere $128$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 32$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $128$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 4 + 4 i$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 32$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $128$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 4 - 4 i$

Schritt 2.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 2.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{2}$

Schritt 2.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 2.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{2} + 8 x + 32$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4