Finite Mathematik Beispiele

$\log_{5} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\log_{5} (3 \sqrt{x^{1}})$

Schritt 1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\log_{5} (3 \sqrt{x})$

Schritt 2

Setze das Argument in $\log_{5} (3 \sqrt{x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$3 \sqrt{x} > 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(3 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{1} > 0^{2}$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache.

$9 x > 0^{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 x > 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $9 x > 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x > 0$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} > \frac{0}{9}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} > \frac{0}{9}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{0}{9}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$x > 0$

Schritt 3.4

Bestimme den Definitionsbereich von $3 \sqrt{x}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 3.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 0$

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 6