Finite Mathematik Beispiele

$e^{2 \ln ((\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3)}$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln ((\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$(\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Löse nach $\sqrt{- x}$ auf.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{\sqrt{- x}} > - 3$

Schritt 2.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\sqrt{- x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{- x}} \sqrt{- x} = - 3 \sqrt{- x}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{- x}$ .

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Schritt 2.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{- x}} \sqrt{- x} = - 3 \sqrt{- x}$

Schritt 2.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = - 3 \sqrt{- x}$

Schritt 2.1.4

Löse nach $\sqrt{- x}$ auf.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 \sqrt{- x} = 1$ um.

$- 3 \sqrt{- x} = 1$

Schritt 2.1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sqrt{- x} = 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sqrt{- x} = 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \sqrt{- x}}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Schritt 2.1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \sqrt{- x}}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Schritt 2.1.4.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{- x}$ durch $1$ .

$\sqrt{- x} = \frac{1}{- 3}$

Schritt 2.1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{- x} = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x}}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x}$ als ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x)}^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$- x = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache ${(- \frac{1}{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$- x = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$- x = {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- x = 1 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$- x = \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- x = \frac{1}{3^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- x = \frac{1}{9}$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- x = \frac{1}{9}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = \frac{1}{9}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{9}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 2.4.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{1}{9}$ als $- \frac{1}{9}$ um.

$x = - \frac{1}{9}$

Schritt 2.5

Bestimme den Definitionsbereich von $(\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3$ .

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Schritt 2.5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x \geq 0$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \leq 0$

Schritt 2.5.3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{- x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{- x} = 0$

Schritt 2.5.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x}$ als ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.2.1

Vereinfache ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.5.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.5.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.5.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x = 0^{2}$

Schritt 2.5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- x = 0$

Schritt 2.5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.4.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 2.5.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0)$

Schritt 2.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{9}$

$- \frac{1}{9} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 2.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(\frac{1}{\sqrt{- (- 3)}}) + 3 > 0$

Schritt 2.7.1.3

Die linke Seite $3.57735026$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.7.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{9} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{9} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.06$

Schritt 2.7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.06$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(\frac{1}{\sqrt{- (- 0.06)}}) + 3 > 0$

Schritt 2.7.2.3

Die linke Seite $7.0824829$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.7.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(\frac{1}{\sqrt{- (2)}}) + 3 > 0$

Schritt 2.7.3.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{9}$ Wahr

$- \frac{1}{9} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - \frac{1}{9}$ Wahr

$- \frac{1}{9} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 2.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{1}{9}$ oder $- \frac{1}{9} < x < 0$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x \geq 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Term in $- x \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \leq 0$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{- x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{- x} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x}$ als ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x = 0^{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- x = 0$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{9}) \cup (- \frac{1}{9}, 0)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 0, x \neq - \frac{1}{9}}$

Schritt 8