Finite Mathematik Beispiele

$\frac{7 x^{2} - 9 x}{x^{2} - 4 x - 7}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{7 x^{2} - 9 x}{x^{2} - 4 x - 7}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 4 x - 7 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $16$ und $28$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{11}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $16$ und $28$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{11}$

Schritt 2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + \sqrt{11}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $16$ und $28$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{11}$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - \sqrt{11}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{11}, 2 - \sqrt{11}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2 - \sqrt{11}) \cup (2 - \sqrt{11}, 2 + \sqrt{11}) \cup (2 + \sqrt{11}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2 - \sqrt{11}, 2 + \sqrt{11}}$

Schritt 4