Finite Mathematik Beispiele

\frac{4 sin (A) \cdot cos (A) \cdot cos (2 A) \cdot sin (15)}{sin (2 A) (tan (225) - 2 {sin}^{2} (A))}

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

Schritt 1

Setze den Nenner in

\frac{4 sin (A) \cdot cos (A) \cdot cos (2 A) \cdot sin (15)}{sin (2 A) (tan (225) - 2 {sin}^{2} (A))}

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ gleich

0

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

sin (2 A) (tan (225) - 2 {sin}^{2} (A)) = 0

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

Schritt 2

Löse nach

A

$A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

sin (2 A) = 0

$\sin (2 A) = 0$

tan (225) - 2 {sin}^{2} (A) = 0

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Schritt 2.2

Setze

sin (2 A)

$\sin (2 A)$ gleich

0

$0$ und löse nach

A

$A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Setze

sin (2 A)

$\sin (2 A)$ gleich

0

$0$ .

sin (2 A) = 0

$\sin (2 A) = 0$

Schritt 2.2.2

Löse

sin (2 A) = 0

$\sin (2 A) = 0$ nach

A

$A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

A

$A$ aus dem Sinus herauszuziehen.

2 A = arcsin (0)

$2 A = \arcsin (0)$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Der genau Wert von

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ ist

0

$0$ .

2 A = 0

$2 A = 0$

2 A = 0

$2 A = 0$

Schritt 2.2.2.3

Teile jeden Ausdruck in

2 A = 0

$2 A = 0$ durch

2

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in

2 A = 0

$2 A = 0$ durch

2

$2$ .

\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.3.2.1.2

Dividiere

$A$ durch

$1$ .

$A = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.3.3.1

Dividiere

$0$ durch

$2$ .

$A = 0$

Schritt 2.2.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 A = 180 - 0$

Schritt 2.2.2.5

Löse nach

$A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.5.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$2 A = 180 + 0$

Schritt 2.2.2.5.1.2

Addiere

$180$ und

$0$ .

$2 A = 180$

Schritt 2.2.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in

$2 A = 180$ durch

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 A = 180$ durch

$2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Schritt 2.2.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Schritt 2.2.2.5.2.2.1.2

Dividiere

$A$ durch

$1$ .

$A = \frac{180}{2}$

Schritt 2.2.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.5.2.3.1

Dividiere

$180$ durch

$2$ .

$A = 90$

Schritt 2.2.2.6

Ermittele die Periode von

$\sin (2 A)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 2.2.2.6.2

Ersetze

$b$ durch

$2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 2 |}$

Schritt 2.2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$2$ ist

$2$ .

$\frac{360}{2}$

Schritt 2.2.2.6.4

Dividiere

$360$ durch

$2$ .

$180$

Schritt 2.2.2.7

Die Periode der

$\sin (2 A)$ -Funktion ist

$180$ , sodass sich die Werte alle

$180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.3

Setze

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ gleich

$0$ und löse nach

$A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ gleich

$0$ .

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Schritt 2.3.2

Löse

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ nach

$A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Der genau Wert von

$\tan (45)$ ist

$1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Schritt 2.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ durch

$- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ durch

$- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.3.2.3.2.1.2

Dividiere

$\sin^{2} (A)$ durch

$1$ .

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 2.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.5.1

Schreibe

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ als

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.5.2

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.5.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.5.4.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.5.4.2

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.5.4.3

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.3.2.5.4.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.5.4.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.5.4.6

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 2.3.2.5.4.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.5.4.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.3.2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.2.7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

$A$ aufzulösen.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.2.8

Löse in

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach

$A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$A$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.3.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.8.2.1

Der genau Wert von

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

$45$ .

$A = 45$

Schritt 2.3.2.8.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$A = 180 - 45$

Schritt 2.3.2.8.4

Subtrahiere

$45$ von

$180$ .

$A = 135$

Schritt 2.3.2.8.5

Ermittele die Periode von

$\sin (A)$ .

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Schritt 2.3.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 2.3.2.8.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 2.3.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 2.3.2.8.5.4

Dividiere

$360$ durch

$1$ .

$360$

Schritt 2.3.2.8.6

Die Periode der

$\sin (A)$ -Funktion ist

$360$ , sodass sich die Werte alle

$360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.3.2.9

Löse in

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach

$A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$A$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.3.2.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.9.2.1

Der genau Wert von

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

$- 45$ .

$A = - 45$

Schritt 2.3.2.9.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von

$360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu

$180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$A = 360 + 45 + 180$

Schritt 2.3.2.9.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.9.4.1

Subtrahiere

$360 °$ von

$360 + 45 + 180 °$ .

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Schritt 2.3.2.9.4.2

Der resultierende Winkel von

$225 °$ ist positiv, kleiner als

$360 °$ und gleich

$360 + 45 + 180$ .

$A = 225 °$

Schritt 2.3.2.9.5

Ermittele die Periode von

$\sin (A)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 2.3.2.9.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 2.3.2.9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 2.3.2.9.5.4

Dividiere

$360$ durch

$1$ .

$360$

Schritt 2.3.2.9.6

Addiere

$360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.9.6.1

Addiere

$360$ zu

$- 45$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 45 + 360$

Schritt 2.3.2.9.6.2

Subtrahiere

$45$ von

$360$ .

$315$

Schritt 2.3.2.9.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$A = 315$

Schritt 2.3.2.9.7

Die Periode der

$\sin (A)$ -Funktion ist

$360$ , sodass sich die Werte alle

$360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.3.2.10

Liste alle Lösungen auf.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.3.2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$A = 45 + 90 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$A = 45 + 90 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$A = 45 + 90 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ wahr machen.

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Führe

$180 n$ und

$90 + 180 n$ zu

$90 n$ zusammen.

$A = 90 n, 45 + 90 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.5.2

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$A = 45 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$A = 45 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$A = 45 n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

$A$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${A | A \neq 45 n}$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 4