Finite Mathematik Beispiele

$\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$z^{3} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Schritt 2

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{3} + 3 z^{2} - 54 z$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{3}$ heraus.

$z \cdot z^{2} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $z$ aus $3 z^{2}$ heraus.

$z \cdot z^{2} + z (3 z) - 54 z = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $z$ aus $- 54 z$ heraus.

$z \cdot z^{2} + z (3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $z$ aus $z \cdot z^{2} + z (3 z)$ heraus.

$z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $z$ aus $z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54$ heraus.

$z (z^{2} + 3 z - 54) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $z^{2} + 3 z - 54$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 54$ und deren Summe $3$ ist.

$- 6, 9$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$z ((z - 6) (z + 9)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$z (z - 6) (z + 9) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z = 0$

$z - 6 = 0$

$z + 9 = 0$

Schritt 2.3

Setze $z$ gleich $0$ .

$z = 0$

Schritt 2.4

Setze $z - 6$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $z - 6$ gleich $0$ .

$z - 6 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 6$

Schritt 2.5

Setze $z + 9$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $z + 9$ gleich $0$ .

$z + 9 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 9$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $z (z - 6) (z + 9) = 0$ wahr machen.

$z = 0, 6, - 9$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $z$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${z | z \neq 0, 6, - 9}$

Schritt 4