Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\sqrt[9]{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sqrt[3]{x} = - \sqrt[9]{x}$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Schritt 2.3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Schritt 2.3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Schritt 2.3.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache ${(- \sqrt[9]{x})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt[9]{x}$ an.

$27 x = {(- 1)}^{3} {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$27 x = - {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[9]{x}}^{3}$ als $\sqrt[3]{x}$ um.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[9]{x}$ als $x^{\frac{1}{9}}$ neu zu schreiben.

$27 x = - {(x^{\frac{1}{9}})}^{3}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x = - x^{\frac{1}{9} \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3}{9}}$

Schritt 2.3.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$27 x = - x^{\frac{3 (1)}{9}}$

Schritt 2.3.3.1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 2.3.3.1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 2.3.3.1.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$27 x = - x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.3.3.1.2.5

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x}$ um.

$27 x = - \sqrt[3]{x}$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt[3]{x} = 27 x$ um.

$- \sqrt[3]{x} = 27 x$

Schritt 2.5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(- \sqrt[3]{x})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{1}{3}}$ an.

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Schritt 2.6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Schritt 2.6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Schritt 2.6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Schritt 2.6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- x^{1} = {(27 x)}^{3}$

Schritt 2.6.2.1.4

Vereinfache.

$- x = {(27 x)}^{3}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Vereinfache ${(27 x)}^{3}$ .

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Schritt 2.6.3.1.1

Wende die Produktregel auf $27 x$ an.

$- x = 27^{3} x^{3}$

Schritt 2.6.3.1.2

Potenziere $27$ mit $3$ .

$- x = 19683 x^{3}$

Schritt 2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Subtrahiere $19683 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x - 19683 x^{3} = 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x - 19683 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.7.2.1

Stelle $- x$ und $- 19683 x^{3}$ um.

$- 19683 x^{3} - x = 0$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 19683 x^{3}$ heraus.

$- x (19683 x^{2}) - x = 0$

Schritt 2.7.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x$ heraus.

$- x (19683 x^{2}) - x \cdot 1 = 0$

Schritt 2.7.2.4

Faktorisiere $- x$ aus $- x (19683 x^{2}) - x (1)$ heraus.

$- x (19683 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.7.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.7.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.7.5

Setze $19683 x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.5.1

Setze $19683 x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.7.5.2

Löse $19683 x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$19683 x^{2} = - 1$

Schritt 2.7.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $19683 x^{2} = - 1$ durch $19683$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $19683 x^{2} = - 1$ durch $19683$ .

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Schritt 2.7.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19683$ .

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Schritt 2.7.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Schritt 2.7.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{19683}$

Schritt 2.7.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{19683}$

Schritt 2.7.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$

Schritt 2.7.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$ .

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Schritt 2.7.5.2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{19683}$ als ${(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}$ um.

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Schritt 2.7.5.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{19683}}$

Schritt 2.7.5.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $1$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{19683}}$

Schritt 2.7.5.2.4.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $81^{2}$ aus $19683$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}}$

Schritt 2.7.5.2.4.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{81})}^{2} \frac{1}{3})}$

Schritt 2.7.5.2.4.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{81})}^{2}$ als ${(\frac{i}{81})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}}$

Schritt 2.7.5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{i}{81} \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.7.5.2.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.7.5.2.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.7.5.2.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 2.7.5.2.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.5.2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.7.5.2.4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.5.2.4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.7.5.2.4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.7.5.2.4.7

Multipliziere $\frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 2.7.5.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{i}{81}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{81 \cdot 3}$

Schritt 2.7.5.2.4.7.2

Mutltipliziere $81$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Schritt 2.7.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.7.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Schritt 2.7.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Schritt 2.7.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Schritt 2.7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (19683 x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 4