Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{8} (x^{2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 0 |$

Schritt 2.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| x | > 0$

Schritt 2.3

Schreibe $| x | > 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.3.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 0$

Schritt 2.3.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.3.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 0$

Schritt 2.3.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 0 & x \geq 0 \\ - x > 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.4

Bestimme die Schnittmenge von $x > 0$ und $x \geq 0$ .

$x > 0$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- x > 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Term in $- x > 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x < 0$

Schritt 2.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < 0$ oder $x > 0$

Schritt 3

Setze das Argument in $\log_{2} (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\log_{2} (x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe $\log_{2} (x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{0} = x$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Schreibe die Gleichung als $x = 2^{0}$ um.

$x = 2^{0}$

Schritt 5.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = 1$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Schritt 7