Finite Mathematik Beispiele

${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

Schritt 1

Subtrahiere ${(x - 3)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y - 6)}^{2} = 9 - {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 6 = \pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y - 6 = \pm \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x - 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Schritt 3.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Schritt 3.3.5

Addiere $3$ und $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (- x + 6)}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 6 = \sqrt{x (- x + 6)}$

Schritt 4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Schritt 4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 6 = - \sqrt{x (- x + 6)}$

Schritt 4.4

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (- x + 6)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (- x + 6) \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$- x + 6 = 0$

Schritt 6.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3

Setze $- x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $- x + 6$ gleich $0$ .

$- x + 6 = 0$

Schritt 6.3.2

Löse $- x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 6$

Schritt 6.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$x = 6$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (- x + 6) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 6$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, 6]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 \leq x \leq 6}$

Schritt 8