Finite Mathematik Beispiele

ln (ln (x - e^{6} x)) = 0

$\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$

Schritt 1

Setze das Argument in

$\ln (x - e^{6} x)$ größer als

$0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - e^{6} x > 0$

Schritt 2

Löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere

$x$ aus

$x - e^{6} x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$x - e^{6} x > 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere

$x$ aus

$x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e^{6} x > 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere

$x$ aus

$- e^{6} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) > 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere

$x$ aus

$x \cdot 1 + x (- e^{6})$ heraus.

$x (1 - e^{6}) > 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$x (1^{3} - e^{6}) > 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) > 0$

Schritt 2.1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Schritt 2.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Schritt 2.1.7

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) > 0$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ durch

$1 - e^{6}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ durch

$1 - e^{6}$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.4.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.1.4.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.1.5.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 + e$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 - e$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 + e^{2} + e^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.2.2.3.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$x < \frac{0}{1^{3} - e^{6}}$

Schritt 2.2.3.1.2

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$x < \frac{0}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Schritt 2.2.3.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 2.2.3.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.4.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$x < \frac{0}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 2.2.3.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 2.2.3.1.4.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 2.2.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 2.2.3.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Schritt 2.2.3.1.5.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Schritt 2.2.3.2

Dividiere

$0$ durch

$(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})$ .

$x < 0$

Schritt 3

Setze das Argument in

$\ln (\ln (x - e^{6} x))$ größer als

$0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\ln (x - e^{6} x) > 0$

Schritt 4

Löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (x - e^{6} x) = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um nach

$x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x - e^{6} x)} = e^{0}$

Schritt 4.2.2

Schreibe

$\ln (x - e^{6} x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn

$x$ und

$b$ positive reelle Zahlen sind und

$b \neq 1$ ist, dann ist

$\log_{b} (x) = y$ gleich

$b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - e^{6} x$

Schritt 4.2.3

Löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Schreibe die Gleichung als

$x - e^{6} x = e^{0}$ um.

$x - e^{6} x = e^{0}$

Schritt 4.2.3.2

Alles, was mit

$0$ potenziert wird, ist

$1$ .

$x - e^{6} x = 1$

Schritt 4.2.3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1

Faktorisiere

$x$ aus

$x - e^{6} x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$x - e^{6} x = 1$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Faktorisiere

$x$ aus

$x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e^{6} x = 1$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Faktorisiere

$x$ aus

$- e^{6} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) = 1$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Faktorisiere

$x$ aus

$x \cdot 1 + x (- e^{6})$ heraus.

$x (1 - e^{6}) = 1$

Schritt 4.2.3.3.2

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$x (1^{3} - e^{6}) = 1$

Schritt 4.2.3.3.3

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) = 1$

Schritt 4.2.3.3.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Schritt 4.2.3.3.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.5.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Schritt 4.2.3.3.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Schritt 4.2.3.3.5.1.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Schritt 4.2.3.3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 1$

Schritt 4.2.3.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 1$

Schritt 4.2.3.3.7

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 1$

Schritt 4.2.3.3.7.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$

Schritt 4.2.3.4

Teile jeden Ausdruck in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$ durch

$1 - e^{6}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$ durch

$1 - e^{6}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.1.2

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.1.4.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.1.4.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.1.5.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 + e$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 - e$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 + e^{2} + e^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.2.2.3.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.3.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$x = \frac{1}{1^{3} - e^{6}}$

Schritt 4.2.3.4.3.1.2

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$x = \frac{1}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Schritt 4.2.3.4.3.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$x = \frac{1}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.2.3.4.3.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.3.1.4.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$x = \frac{1}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.2.3.4.3.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.2.3.4.3.1.4.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.2.3.4.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.3.1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.2.3.4.3.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.3.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Schritt 4.2.3.4.3.1.5.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von

$\ln (x - e^{6} x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Setze das Argument in

$\ln (x - e^{6} x)$ größer als

$0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - e^{6} x > 0$

Schritt 4.3.2

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere

$x$ aus

$x - e^{6} x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$x - e^{6} x > 0$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Faktorisiere

$x$ aus

$x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e^{6} x > 0$

Schritt 4.3.2.1.1.3

Faktorisiere

$x$ aus

$- e^{6} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) > 0$

Schritt 4.3.2.1.1.4

Faktorisiere

$x$ aus

$x \cdot 1 + x (- e^{6})$ heraus.

$x (1 - e^{6}) > 0$

Schritt 4.3.2.1.2

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$x (1^{3} - e^{6}) > 0$

Schritt 4.3.2.1.3

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) > 0$

Schritt 4.3.2.1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Schritt 4.3.2.1.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.5.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Schritt 4.3.2.1.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Schritt 4.3.2.1.5.1.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Schritt 4.3.2.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Schritt 4.3.2.1.7

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) > 0$

Schritt 4.3.2.1.7.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$

Schritt 4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ durch

$1 - e^{6}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Teile jeden Term in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ durch

$1 - e^{6}$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.2

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.1.4.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.4.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.5.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 + e$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 - e$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 + e^{2} + e^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2.3.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.3.1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{3}$ um.

$x < \frac{0}{1^{3} - e^{6}}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.2

Schreibe

$e^{6}$ als

${(e^{2})}^{3}$ um.

$x < \frac{0}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

$a = 1$ und

$b = e^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.3.1.4.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$x < \frac{0}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = e$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.4.3

Mutltipliziere

$e^{2}$ mit

$1$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.3.1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.5.2

Multipliziere die Exponenten in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.3.1.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Schritt 4.3.2.2.3.1.5.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Schritt 4.3.2.2.3.2

Dividiere

$0$ durch

$(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})$ .

$x < 0$

Schritt 4.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0)$

Schritt 4.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})})$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}}$

Schritt 6