Finite Mathematik Beispiele

$\ln (\frac{5 + x}{3 - x})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (\frac{5 + x}{3 - x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{5 + x}{3 - x} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$5 + x = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 5$

$x = 3$

Schritt 2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 5, 3$

Schritt 2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{5 + x}{3 - x}$ .

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Schritt 2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{5 + x}{3 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 - x = 0$

Schritt 2.7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.7.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 - 8}{3 - (- 8)} > 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{27}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 + 0}{3 - (0)} > 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $1.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 + 6}{3 - (6)} > 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 3.\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < 3$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{5 + x}{3 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 - x = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 5, 3)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 5 < x < 3}$

Schritt 6