Finite Mathematik Beispiele

$4 x - 7 y^{2} + 6 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y^{2} + 6 = - 4 x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y^{2} = - 4 x - 6$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y^{2} = - 4 x - 6$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y^{2} = - 4 x - 6$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y^{2}}{- 7} = \frac{- 4 x}{- 7} + \frac{- 6}{- 7}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y^{2}}{- 7} = \frac{- 4 x}{- 7} + \frac{- 6}{- 7}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 4 x}{- 7} + \frac{- 6}{- 7}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = \frac{4 x}{7} + \frac{- 6}{- 7}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = \frac{4 x}{7} + \frac{6}{7}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x}{7} + \frac{6}{7}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4 x}{7} + \frac{6}{7}}$ .

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x + 6}{7}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 6$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x) + 6}{7}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x) + 2 (3)}{7}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (3)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x + 3)}{7}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (2 x + 3)}{7}}$ als $\frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3) \cdot 7}}{7}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{14 (2 x + 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$14 (2 x + 3) \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $14 (2 x + 3) \geq 0$ durch $14$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $14 (2 x + 3) \geq 0$ durch $14$ .

$\frac{14 (2 x + 3)}{14} \geq \frac{0}{14}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 (2 x + 3)}{14} \geq \frac{0}{14}$

Schritt 7.1.2.1.2

Dividiere $2 x + 3$ durch $1$ .

$2 x + 3 \geq \frac{0}{14}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.3.1

Dividiere $0$ durch $14$ .

$2 x + 3 \geq 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq - 3$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{3}{2}$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{3}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{3}{2}}$

Schritt 9