Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt[3]{\frac{125^{n} \cdot 5^{4 n}}{25^{- n}}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$\sqrt[3]{\frac{{(5^{3})}^{n} \cdot 5^{4 n}}{25^{- n}}}$

Schritt 1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{\frac{5^{3 n} \cdot 5^{4 n}}{25^{- n}}}$

Schritt 1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt[3]{\frac{5^{3 n + 4 n}}{25^{- n}}}$

Schritt 1.4

Addiere $3 n$ und $4 n$ .

$\sqrt[3]{\frac{5^{7 n}}{25^{- n}}}$

Schritt 2

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{5^{7 n}}{25^{- n}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}}}{\sqrt[3]{25^{- n}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{\sqrt[3]{25^{- n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt[3]{25^{- n}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{1} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{1 + 2}}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{\sqrt[3]{25^{- n}}}^{3}}$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{25^{- n}}}^{3}$ als $25^{- n}$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{25^{- n}}$ als $25^{\frac{- n}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{(25^{\frac{- n}{3}})}^{3}}$

Schritt 4.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{{(25^{- \frac{n}{3}})}^{3}}$

Schritt 4.5.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{- \frac{n}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{- 3 \frac{n}{3}}}$

Schritt 4.5.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{n}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{- 3 n}{3}}}$

Schritt 4.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.5.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 n$ heraus.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{3 (- n)}{3}}}$

Schritt 4.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{3 (- n)}{3 (1)}}}$

Schritt 4.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{3 (- n)}{3 \cdot 1}}}$

Schritt 4.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{\frac{- n}{1}}}$

Schritt 4.5.6.2.4

Dividiere $- n$ durch $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} {\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}}{25^{- n}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{25^{- n}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(25^{- n})}^{2}}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} \sqrt[3]{{(25^{- n})}^{2}}}{25^{- n}}$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(25^{- n})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} \sqrt[3]{25^{- n \cdot 2}}}{25^{- n}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n}} \sqrt[3]{25^{- 2 n}}}{25^{- n}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n} \cdot 25^{- 2 n}}}{25^{- n}}$

Schritt 6.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n} \cdot {(5^{2})}^{- 2 n}}}{25^{- n}}$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{2})}^{- 2 n}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n} \cdot 5^{2 (- 2 n)}}}{25^{- n}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n} \cdot 5^{- 4 n}}}{25^{- n}}$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[3]{5^{7 n - 4 n}}}{25^{- n}}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $4 n$ von $7 n$ .

$\frac{\sqrt[3]{5^{3 n}}}{25^{- n}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Schreibe $5^{3 n}$ als ${(5^{n})}^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{{(5^{n})}^{3}}}{25^{- n}}$

Schritt 7.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{5^{n}}{25^{- n}}$