Finite Mathematik Beispiele

$\frac{12 x^{2} + 2 x - 2}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{2} + 2 x - 2$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 x - 2}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (x) - 2}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 2 (- 1)}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 x^{2}) + 2 (x)$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2} + x) + 2 (- 1)}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 x^{2} + x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{2} + x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 1 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + 1 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$\frac{2 (6 x^{2} + (- 2 + 3) x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (6 x^{2} - 2 x + 3 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((6 x^{2} - 2 x) + 3 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (2 x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1))}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$\frac{2 ((3 x - 1) (2 x + 1))}{27 x^{3} - 1}$

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{27 x^{3} - 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{{(3 x)}^{3} - 1}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{{(3 x)}^{3} - 1^{3}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2})}$

Schritt 2.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (2 x + 1)}{9 x^{2} + 3 x + 1}$