Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{x - 4}{x^{2} - x}}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x - 4}{x^{2} - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x - 4}{x \cdot x - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $3$ um als $1$ plus $2$

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Um $\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.2

Um $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

Schritt 5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}}$

Schritt 5.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)$ um.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.5.1

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 1) - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.2.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.2.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.6

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 1 - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 0}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.8

Addiere $x^{2} - 4 x$ und $0$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.9

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 5.5.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.9.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 5.5.9.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 4)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} (1 \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)})$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$ mit $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $x (x - 4)$ heraus.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $x (x - 1)$ heraus.

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

Schritt 9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x \cdot x}$

Schritt 11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x}$

Schritt 12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x^{1}}$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1 + 1}}$

Schritt 14

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2}}$