Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{4} - 8 x^{2} + 15}{x^{4} - 9}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 15}{x^{4} - 9}$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{u^{2} - 8 u + 15}{x^{4} - 9}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 8 u + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(u - 5) (u - 3)}{x^{4} - 9}$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{x^{4} - 9}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{{(x^{2})}^{2} - 9}$

Schritt 2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{{(x^{2})}^{2} - 3^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 3$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 3) (x^{2} - 3)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 3}$