Finite Mathematik Beispiele

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} - 4 (x) - 3}{8 x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$\frac{4 x^{2} + (2 - 6) x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 6 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x) - 6 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}{8 x^{3} + 1}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{8 x^{3} + 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{{(2 x)}^{3} + 1}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{{(2 x)}^{3} + 1^{3}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

Schritt 2.4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x - 3}{4 x^{2} - 2 x + 1}$