Finite Mathematik Beispiele

$3 {(9)}^{x - 3} = 25$

Schritt 1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 {(9)}^{x - 3} - 25 = 0$

Schritt 2

Multipliziere $3 \cdot 9^{x - 3}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3 \cdot {(3^{2})}^{x - 3} - 25 = 0$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2})}^{x - 3}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 3^{2 (x - 3)} - 25 = 0$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 3^{2 x + 2 \cdot - 3} - 25 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 \cdot 3^{2 x - 6} - 25 = 0$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{1 + 2 x - 6} - 25 = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$3^{2 x - 5} - 25 = 0$

Schritt 3

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{2 x - 5} = 25$

Schritt 4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{2 x - 5}) = \ln (25)$

Schritt 5

Zerlege $\ln (3^{2 x - 5})$ durch Herausziehen von $2 x - 5$ aus dem Logarithmus.

$(2 x - 5) \ln (3) = \ln (25)$

Schritt 6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \ln (3) - 5 \ln (3) = \ln (25)$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 x \ln (3) - 5 \ln (3) - \ln (25) = 0$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Addiere $5 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (3) - \ln (25) = 5 \ln (3)$

Schritt 8.2

Addiere $\ln (25)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$ durch $2 \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$ durch $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Schreibe $\ln (25)$ als $\ln (5^{2})$ um.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (5^{2})}{2 \ln (3)}$

Schritt 10.2

Zerlege $\ln (5^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x = \frac{5}{2} + \frac{2 \ln (5)}{2 \ln (3)}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5}{2} + \frac{2 \ln (5)}{2 \ln (3)}$

Schritt 10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$