Finite Mathematik Beispiele

$16000 {(1 + r)}^{2} = 25000$

Schritt 1

Subtrahiere $25000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16000 {(1 + r)}^{2} - 25000 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $16000 {(1 + r)}^{2} - 25000$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(1 + r)}^{2}$ als $(1 + r) (1 + r)$ um.

$16000 ((1 + r) (1 + r)) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(1 + r) (1 + r)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$16000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$16000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$16000 (1 + r + r + r \cdot r) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$16000 (1 + r + r + r^{2}) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $r$ und $r$ .

$16000 (1 + 2 r + r^{2}) - 25000 = 0$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$16000 \cdot 1 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $16000$ mit $1$ .

$16000 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16000$ .

$16000 + 32000 r + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $25000$ von $16000$ .

$32000 r + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $1000$ aus $32000 r + 16000 r^{2} - 9000$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $1000$ aus $32000 r$ heraus.

$1000 (32 r) + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $1000$ aus $16000 r^{2}$ heraus.

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) - 9000 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $1000$ aus $- 9000$ heraus.

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $1000$ aus $1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2})$ heraus.

$1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $1000$ aus $1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9)$ heraus.

$1000 (32 r + 16 r^{2} - 9) = 0$

Schritt 4

Es sei $u = r$ . Ersetze $u$ für alle $r$ .

$1000 (32 u + 16 u^{2} - 9) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$1000 (16 u^{2} + 32 u - 9) = 0$

Schritt 5.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot - 9 = - 144$ und deren Summe gleich $b = 32$ ist.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $32$ aus $32 u$ heraus.

$1000 (16 u^{2} + 32 (u) - 9) = 0$

Schritt 5.2.2

Schreibe $32$ um als $- 4$ plus $36$

$1000 (16 u^{2} + (- 4 + 36) u - 9) = 0$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1000 (16 u^{2} - 4 u + 36 u - 9) = 0$

Schritt 5.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$1000 ((16 u^{2} - 4 u) + 36 u - 9) = 0$

Schritt 5.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$1000 (4 u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)) = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$1000 ((4 u - 1) (4 u + 9)) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $u$ durch $r$ .

$1000 ((4 r - 1) (4 r + 9)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 r - 1 = 0$

$4 r + 9 = 0$

Schritt 8

Setze $4 r - 1$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $4 r - 1$ gleich $0$ .

$4 r - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $4 r - 1 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 r = 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 r = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 r = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Schritt 9

Setze $4 r + 9$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $4 r + 9$ gleich $0$ .

$4 r + 9 = 0$

Schritt 9.2

Löse $4 r + 9 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 r = - 9$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 r = - 9$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 r = - 9$ durch $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- 9}{4}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{9}{4}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$ wahr machen.

$r = \frac{1}{4}, - \frac{9}{4}$