Finite Mathematik Beispiele

$8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25$

Schritt 1.3

Setze $- 0.25$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.25$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 0.25$ in das Polynom ein.

$8 {(- 0.25)}^{3} - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 0.25$ mit $3$ .

$8 \cdot - 0.015625 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.015625$ .

$- 0.125 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 1.3.4

Potenziere $- 0.25$ mit $2$ .

$- 0.125 - 10 \cdot 0.0625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $0.0625$ .

$- 0.125 - 0.625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 1.3.6

Subtrahiere $0.625$ von $- 0.125$ .

$- 0.75 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 0.25$ .

$- 0.75 + 1.75 - 1$

Schritt 1.3.8

Addiere $- 0.75$ und $1.75$ .

$1 - 1$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 0.25$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $4 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{4 x + 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ durch $4 x + 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$1$

$8 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$1$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

					$2 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							-	$4 x$	-	$1$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 3 x - 1$

Schritt 1.6

Schreibe $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 4

Setze $2 x^{2} - 3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x^{2} - 3 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.4.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.5.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Dezimalform:

$x = - 0.25, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$